為一個(gè)點(diǎn)。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個(gè)輪

    胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒(méi)有辦法把它收縮到一點(diǎn)的。我們說(shuō)，

    蘋(píng)果表面是「單連通的」，而輪胎面不是。

    大約在一百年以前，龐加萊已經(jīng)知道，二維球面本質(zhì)上可由單連通性來(lái)刻畫(huà)，

    他提出三維球面（四維空間中與原點(diǎn)有單位距離的點(diǎn)的全體）的對應問(wèn)題。這個(gè)

    問(wèn)題立即變得無(wú)比困難，從那時(shí)起，數學(xué)家們就在為此奮斗。

    「千僖難題」之四黎曼（Riemann）假設：有些數具有不能表示為兩個(gè)更小的

    數的乘積的特殊性質(zhì)，例如，2，3，5，7，等等。這樣的數稱(chēng)為素數；它們在純

    數學(xué)及其應用中都起著(zhù)重要作用。

    在所有自然數中，這種素數的分布并不遵循任何有規則的模式；然而，德國

    數學(xué)家黎曼（1826~1866）觀(guān)察到，素數的頻率緊密相關(guān)于一個(gè)精心構造的所謂

    黎曼蔡塔函數z（s的性態(tài)。著(zhù)名的黎曼假設斷言，方程z（s）=0的所有有意義

    的解都在一條直線(xiàn)上。這點(diǎn)已經(jīng)對于開(kāi)始的1，500，000，000個(gè)解驗證過(guò)。證明

    它對于每一個(gè)有意義的解都成立將為圍繞素數分布的許多奧秘帶來(lái)光明。

    「千僖難題」之五楊－米爾斯（Yang-Mills）存在性和質(zhì)量缺口：量子物

    理的定律是以經(jīng)典力學(xué)的牛頓定律對宏觀(guān)世界的方式對基本粒子世界成立的。大

    約半個(gè)世紀以前，楊振寧和米爾斯發(fā)現，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何

    對象的數學(xué)之間的令人注目的關(guān)系。

    基于楊－米爾斯方程的預言已經(jīng)在如下的全世界范圍內的實(shí)驗室中所履行的

    高能實(shí)驗中得到證實(shí)：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波。盡管

    如此，他們的既描述重粒子、又在數學(xué)上嚴格的方程沒(méi)有已知的解。特別是，被

    大多數物理學(xué)家所確認、并且在他們的對于「夸克」的不可見(jiàn)性的解釋中應用的

    「質(zhì)量缺口」假設，從來(lái)沒(méi)有得到一個(gè)數學(xué)上令人滿(mǎn)意的證實(shí)。在這一問(wèn)題上的

    進(jìn)展需要在物理上和數學(xué)上兩方面引進(jìn)根本上的新觀(guān)念。

    「千僖難題」

    之六納維葉－斯托克斯（okes）方程的存在性與光

    滑性：起伏的波浪跟隨著(zhù)我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著(zhù)我

    們的現代噴氣式飛機的飛行。數學(xué)家和物理學(xué)家深信，無(wú)論是微風(fēng)還是湍流，都

    可以通過(guò)理解納維葉－斯托克斯方程的解，來(lái)對它們進(jìn)行解釋和預言。雖然這些

    方程是19世紀寫(xiě)下的，我們對它們的理解仍然極少。挑戰在于對數學(xué)理論作出實(shí)

    質(zhì)性的進(jìn)展，使我們能解開(kāi)隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。

    「千僖難題」之七貝赫（Birch）和斯維訥通－戴爾（Swion-Dyer）

    猜想：數學(xué)家總是被諸如x^2y^2=z2那樣的代數方程的所有整數解的刻畫(huà)問(wèn)題

    著(zhù)迷。歐幾里德曾經(jīng)對這一方程給出完全的解答，但是對于更為復雜的方程，這

    就變得極為困難。

    事實(shí)上，正如馬蒂雅謝維奇（Yu。V。Matiyasevich）指出，希爾伯特第十問(wèn)

    題是不可解的，即，不存在一般的方法來(lái)確定這樣的方法是否有/一個(gè)整數解。當

    解是一個(gè)阿貝爾簇的點(diǎn)時(shí)，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認為，有理點(diǎn)的群的大小與

    一個(gè)有關(guān)的蔡塔函數z（s）在點(diǎn)s=1附近的性態(tài)。特別是，這個(gè)有趣的猜想認為，

    如果z（1）等于0，那么存在無(wú)限多個(gè)有理點(diǎn)（解），相反，如果z（1）不等于0，

    那么只存在有限多個(gè)這樣的點(diǎn)。